#### Stochastik IV, Übungsblatt 7

### Aufgabe 2

# Einlesen und Auswahl der Daten und Einbinden in Suchpfad

data.crabs <- 
read.table("D:/Univ Augsburg/Lehre/SS07/VO_MultiVar/Datensaetze/crabs.txt",
head = TRUE, sep = "\t", quote = "")

crabs.bl <- subset(data.crabs, sp == 1)

attach(crabs.bl)

## Teilaufgabe (a) 

# Teildatenmatrizen für 'male' und 'female' Gruppen

crabs.bl.male <- 
as.data.frame(cbind(subset(FL, sex == 1), subset(RW, sex == 1)))
names(crabs.bl.male) <- c("FL", "RW")

crabs.bl.female <- 
as.data.frame(cbind(subset(FL, sex == 2), subset(RW, sex == 2)))
names(crabs.bl.female) <- c("FL", "RW")

# Gruppenmittelwertvektoren

x.male <- mean(crabs.bl.male)
x.female <- mean(crabs.bl.female)

# 'Gepoolte' Kovarianzmatrix

S.male <- cov(crabs.bl.male)
S.female <- cov(crabs.bl.female)

S.pooled <- (S.male + S.female) / 2
S.pooled.inv <- solve(S.pooled)

# Der Vektor, der die Diskriminanzgerade (Projektionsgerade optimaler
# Separation) durch den Nullpunkt aufspannt. Die Gerade ist beschrieben 
# durch die Geradengleichung y = mx, wobei 
#      m = RW-Komponente (delta_y) / FL-Komponente (delta_x)
#        = -3.859 / 3.066 (auf drei Dezimalstellen gerundet).

(vekt.diskr.ger <- S.pooled.inv %*% (x.male - x.female))

# Scatterplot mit zur Sichtbarkeit parallel verschobener Diskriminanzgerade

plot(FL, RW, 
     main = "Scatterplot mit (zur Sichtbarkeit parallel verschobener) Diskriminanzgerade",
     pch = 19, cex = 1.25, col = sex)
abline(28, vekt.diskr.ger[2, ] / vekt.diskr.ger[1, ], lwd = 2, col = "lightblue")
text(12, 16, "y = -1.26 x + 28", col = "lightblue")
legend(17, 10, pch = 19, col = c(1, 2), c("Blue Male", "Blue Female"))

## Teilaufgabe (b)

# Graphik / Plot

# Diskriminanzscores 'Blue Male' und 'Blue Female'

diskr.scores.male <- as.matrix(crabs.bl.male) %*% vekt.diskr.ger
diskr.scores.female <- as.matrix(crabs.bl.female) %*% vekt.diskr.ger

# Projizierte Dichten mittels Dichteschätzern

windows()
plot(density(diskr.scores.male, bw = 2), 
     main = "Projizierte Dichten mittels Dichteschätzern", 
     xlim = c(-15, 10), ylim = c(0,0.15),
     col = 1, lwd = 2)
lines(density(diskr.scores.female, bw = 2), col = 2, lwd = 2)
text(c(-11, 4.1), c(0.10, 0.10), c("Blue Female", "Blue Male"), col = c(2, 1))

# Entscheidungsgrenze (d.h. 'Entscheidungspunkt') im Diskriminanzraum 
# (d.h. auf der Diskriminanzgerade)

(diskr.ger.grenze <- ((x.male %*% vekt.diskr.ger) + (x.female %*% vekt.diskr.ger)) / 2)
abline(v = diskr.ger.grenze, col = "lightblue", lwd = 2)
text(1, 0.14, "Entscheidungspunkt x = -2.93", col = "lightblue")

## Teilaufgabe (c)

# Weil n.male = n.female = 50 ist, gilt D(x.gesamt) = (D(x.male) + D(x.female)) / 2.
# Die Entscheidungsregel lautet daher:
#      Gruppe 'Male' genau dann wenn (gdw.) D(x) - D(x.gesamt) > 0,
#      Gruppe 'Female' gdw. D(x) - D(x.gesamt) < 0.