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# Blatt 8 #
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#aufgabe 1
#Nikotin <- read.table(".../Nikotin.txt",header=T,sep="\t", quote="")


#a
hist(Nikotin[,1], col = "grey") # Histogramm
boxplot(Nikotin[,1]) # Boxplot

#Grafiken deuten eine Normalverteilung an
# (Median=304, Mittelwert=314.9091, Standardabweichung=131.1626)
# Boxplot ist annaehernd symmetrisch um den Mittelwert
# Histogramm scheint auch symmetrisch zu sein


#b
(stat<-(mean(Nikotin[,1]) - 350) * (sqrt(nrow(Nikotin))/131))
# Teststatistik T=Wurzel(n)/sd * (Mittelwert-mu_0)

# H_0 ablehnen, falls Betrag(T) > (1-alpha/2)-Quantil
# (1-alpha/2)-Quantil = 1.96 (fuer alpha=0.05)
abs(stat) > qnorm(0.975)

#Nullhypothese H_0: mu=mu_0 kann verworfen werden!

# Annahmebereich: {x in R^55: Betrag(T(x))<=(1-alpha/2)-Quantil}

# Annahmebereich fuer T = Mittelwert; untere und obere Grenze
(u_AB <- 350-((qnorm(0.975)*131)/sqrt(55))) # untere Grenze 315.3791
(o_AB <- 350+((qnorm(0.975)*131)/sqrt(55))) # obere Grenze 384.6209
mean(Nikotin[,1]) # x_quer=314.9091 
# x_quer liegt nicht im Annahmebreich; daher H_0 verwerfen


#c
abs(stat) > qnorm(0.995) # qnorm(0.995)=2.58
#Nullhypothese H_0: mu=mu_0 kann nicht verworfen werden!

# Annahmebereich fuer T = Mittelwert; untere und obere Grenze
(u_AB <- 350-((qnorm(0.995)*131)/sqrt(55))) # untere Grenze 304.5005
(o_AB <- 350+((qnorm(0.995)*131)/sqrt(55))) # untere Grenze 395.4995
# x_quer=314.9091 liegt im Annahmebreich; daher H_0 nicht verwerfen


#aufgabe 2
library(MASS)
attach(crabs)

combi<-c(rep("BM",50), rep("BF",50), rep("OM",50), rep("OF",50))

#graphisch
boxplot(RW ~ combi)
# mu=12 scheint fuer alle, ausser OF, vertretbar zu sein 


#a
#zweiseitig ist der Default
t.test(RW[combi == "BF"], mu = 12) # p-value=0.6908
t.test(RW[combi == "BM"], mu = 12) # p-value=0.3496
t.test(RW[combi == "OF"], mu = 12) # p-value=2.896e-11
t.test(RW[combi == "OM"], mu = 12) # p-value=0.4029

#Nur orange, weibliche Krebse (OF) haben einen Erwartungswert 
#verschieden von 12


#b

# (i): Unter der Annahme, dass sigma_1=sigma_2

# Female versus Male 
t.test(c(RW[combi == "BF"], RW[combi == "OF"]), 
c(RW[combi == "BM"],RW[combi == "OM"]), var.equal=TRUE) # p-value=2.797e-05

# H_0:mu_1=mu_2 wird verworfen so dass mu_1 nicht-gleich mu_2
# mean(F)=13.487; mean(M)=11.99
# Gleichheitsannahme sigma_1=sigma_2 erfuellt?
# sd(F)=2.740702; sd(M)=2.160504

#Blue versus Orange
t.test(c(RW[combi == "BF"], RW[combi == "BM"]), 
c(RW[combi == "OF"],RW[combi == "OM"]), var.equal=TRUE) # p-value=5.252e-06

# H_0 verwerfen; mu_1 nicht-gleich mu_2
# mean(B)=11.928; mean(O)=13.549

#Gleichheitsannahme sigma_1=sigma_2 erfuellt?
#sd(B)=2.279291; sd(O)=2.60553


# (ii) Keine Annahme, dass sigma_1=sigma_2
# Welch (or Satterthwaite) approximation to the degrees of freedom is used.
# (Default in t.test() ist var.equal=FALSE)

# Female versus Male 
t.test(c(RW[combi == "BF"], RW[combi == "OF"]), 
c(RW[combi == "BM"],RW[combi == "OM"])) # p-value=2.862e-05

#Blue versus Orange
t.test(c(RW[combi == "BF"], RW[combi == "BM"]), 
c(RW[combi == "OF"],RW[combi == "OM"])) # p-value=5.306e-06

# H_0 wird auch hier verworfen, beide Male


#aufgabe 4

beo<-c(3,5,16,14,11,6,4,0,1,0) # beobachtete Haeufigkeiten fuer Anzahlen/sek 
# (von 0-8 und >8)

erw<-dpois(0:8,3) # Wahrscheinlichkeiten fuer Anzahlen/sek (von 0 bis 8)
erw[10]<-1-sum(erw) # Wahrscheinlichkeit fuer >8 dazu, als 10. Komponente

(erw<-erw*60) # erwartete Haeufigkeiten fuer Anzahlen/sek (von 0-8 und >8)

# beobachtet - erwartet
(res<-beo-erw)
# Beitraege = (beobachtet-erwartet)^2/erwartet
(beitr <- res^2/erw)
# X^2 Statistik
(x.quad <- sum(beitr)) # X^2=4.727411

# H_0: Poisson mit lambda=3, genauer (p_1,...,p_10)=(p_1Poi(3),...,p_10Poi(3))
# Unter H_0, fuer grosses n (hier 60), ist
# X^2 ist Chi-Quadrat-Verteilung mit df=10-1=9
# Faustregel fuer n: n*p_i^0 >= 5 fuer alle i=1,...,10

#p-Wert Formulierung
1-pchisq(x.quad,9) # p-Wert=0.8573938
# Nullhypothese kann nicht nicht verworfen werden, so dass Poi(3) nicht verworfen

#Quantil Formulierung
# alpha=0.05
(q0.05<-qchisq(0.95,9)) # 16.91898=(1-0.05)-Quantil der Chi-Verteilung mit df=9
x.quad > q0.5 # H_0 wird nicht verworfen zum Niveau z.B. 0.05

#alpha=0.01
(q0.01<-qchisq(0.99,9)) # 21.66599=(1-0.01)-Quantil der Chi-Verteilung mit df=9
x.quad > q0.01 # H_0 wird nicht verworfen zum Niveau z.B. 0.01

# Alternativ ueber chisq.test()-Befehl
chisq.test(beo, p=c(dpois(0:8,3),1-ppois(8,3))) 
# Warnung in Ausgabe bezieht sich auf Faustregel: np_ij >= 5