#SimulationslŠnge
N<-100000

#Gleichverteilung
#Mittelwert
set.seed(7)
xw<-runif(N)
rN<-mean(xw)
rNl<-0.5-1.96*1/(12*N)**0.5
rNu<-0.5+1.96*1/(12*N)**0.5

#Histogramm
hist(xw)
cw<-hist(xw,breaks=100)
plot(cw)
ncells<-length(cw$mids)
nn<-length(xw)/ncells
lower<-nn-1.96*((nn*(1-1/ncells))**0.5)
higher<-nn+1.96*((nn*(1-1/ncells))**0.5)
abline(h=lower)
abline(h=higher)
#Wir haben 100 Zellen
#P(keine fŠllt au§erhalb dieser Grenzen) ist
0.95^100
0.00592
#Anzahl au§erhalb 99% Grenzen ist B(100,0.01) verteilt
#P(keine au§erhalb nn±g)=0.95
g<-qnorm((0.975)^(1/100),0,(nn*(1-1/ncells))**0.5)

#Streudiagramm
JavaGD()
i<-1:(N/2)
yw<-rep(0,N/2)
yw[i]<-xw[2*i]
zw<-rep(0,N/2)
zw[i]<-xw[2*i-1]
plot(zw,yw,pch=20)



#Normalverteilung
N<-1000
mu<-5
sigma<-3
set.seed(4)
zz<-rnorm(N,mean=mu, sd=sigma)
JavaGD()
hist(zz, breaks=N/50)
#Ausreisser
ag<-3
#Anzahl
sum(abs(zz-mu)>ag*sigma)
#erwartete Anzahl
pag<-2*(1-pnorm(ag))
pag*N
#Verteilung der Anzahl 
pbinom(0,N,pag)
pbinom(2,N,pag)
#Poisson Approximation
ppois(0,1000*pag)
ppois(2,1000*pag)

#Streudiagramm
JavaGD()
i<-1:(N/2)
yz<-rep(0,N/2)
yz[i]<-zz[2*i]
vz<-rep(0,N/2)
vz[i]<-zz[2*i-1]
plot(vz,yz,pch=20)


#Normal Varianz
sd(zz)
sdS<-(N-1)*(sd(zz)/sigma)**2
pchisq(sdS,N-1)
plot(function(x)dchisq(x,N-1), N-4*(N**0.5), N+4*(N**0.5), main = "Chiquadratverteilung Dichte",ylab="")
abline(h=0)
abline(v=sdS,lty=3)

#Verteilung des Medians
N<-100000
set.seed(71)
xn<-rnorm(N)
#Stichproben der Grš§e n
n<-10
sqn<-n**0.5
medT<-rep(0,N/n)
mitT<-rep(0,N/n)
for (j in 1:(N/n))
{medT[j]<-median(xn[(1+(j-1)*n):(j*n)])
mitT[j]<-mean(xn[(1+(j-1)*n):(j*n)])}
JavaGD()
par(mfrow=c(2,1))
hist(medT,xlim=c(-5/sqn,5/sqn), breaks=20)
hist(mitT,xlim=c(-5/sqn,5/sqn), breaks=20)
JavaGD()
plot(mitT,medT)
(mmed<-mean(medT))
(mmit<-mean(mitT))
(sdmed<-sd(medT))
(sdmit<-sd(mitT))

JavaGD()
par(mfrow=c(2,1))
hist(medT,xlim=c(-5/sqn,5/sqn), breaks=20)
abline(v=mmed,lty=3)
abline(v=mmed,lty=3,col="red",lwd=3)
abline(v=mmed-2*sdmed,lty=3,col="red",lwd=3)
abline(v=mmed+2*sdmed,lty=3,col="red",lwd=3)
hist(mitT,xlim=c(-5/sqn,5/sqn), breaks=20)
abline(v=mmit,lty=3,col="red",lwd=3)
abline(v=mmit+2*sdmit,lty=3,col="red",lwd=3)
abline(v=mmit-2*sdmit,lty=3,col="red",lwd=3)

#Verteilung des Unterschieds zwischen zwei Poisson ZV
K<-100000
Lam1<-2.3
Lam2<-1.9
x1<-rpois(K,Lam1)
x2<-rpois(K,Lam2)
dif<-x1-x2
table(dif)
hist(dif,breaks=seq(min(dif)-1,max(dif)))



#Lotto Statistiken
#Zwei Ziehungen pro Woche
L<-104
M<-1000
sp<-array(0,c(L,6))
Lmax<-rep(0,M)
Lmin<-rep(0,M)
for (j in 1:M){
for (i in 1:L) sp[i,]<-sample(49,6)
tL<-table(sp)
Lmax[j]<-max(tL)
Lmin[j]<-min(tL)}
JavaGD()
hist(Lmax)
JavaGD()
hist(Lmin)
JavaGD()
Lmm<-cbind(Lmin,Lmax)
hist(Lmm)
abline(v=L*6/49,lty=3,lwd=3,col="red")
JavaGD()
Ldif<-Lmax-Lmin
hist(Ldif)


#Was passiert, wenn eine Zahl in 104 Ziehungen nie gezogen wird?
#Wahrscheinlichkeit?  MŸssen wir diesen Fall abdecken?  Wie?

#Verteilung von X^Y fŸr X und Y unabhŠngig normal
K<-1000
muX<-0
sigmaX<-1
muY<-0
sigmaY<-1
x<-rnorm(K,muX, sigmaX)
y<-rnorm(K,muY,sigmaY)
zprod<-x**y
hist(zprod)
boxplot(zprod)
#Was passiert bei X <0?
summary(zprod)

#Pareto Beispiel
library(evd)
plot(dgpd(600:10000, scale=600,shape=1.6),type="l")
M<-10
n<-1000
pp<-array(0,c(M,n))
for (j in 1:M){
pp[j,]<-600+rgpd(n,scale=600,shape=1.6)}

#Statistiken der M Stichproben
meinzus<-function(x){
list(min=min(x),q25=quantile(x,0.25),mean=mean(x), med=median(x),q75=quantile(x,0.75),max=max(x),sd=sd(x))}
zus<-array(0,c(M,7))
zut<-unlist(apply(pp,1,meinzus))
for (i in 1:M) zus[i,]<-zut[((i-1)*7+1):(i*7)]
colnames(zus)<-c("min","25%q","mean","med","75%q","max","sd")
zus